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Binômio de Newton
Denomina-se Binômio
de Newton, a todo binômio da forma (a + b)n
, sendo n um número natural .
Exemplo:
B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).
Nota
1:
Isaac Newton - físico e matemático inglês(1642
- 1727).
Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia
Mathematica, escrita em 1687.
Exemplos
de desenvolvimento de binômios de Newton :
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2
+ b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2
+ 4ab3 + b4
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2
+ 10 a2b3 + 5ab4 + b5
Nota
2:
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem
uma lei de formação bem definida, senão vejamos:
Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente
do binômio,
ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da
seguinte regra prática de fácil memorização:
Multiplicamos
o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos
o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo
termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do
item (d) acima teríamos: 5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo
anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do
terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a
decrescem de n até 0
e os expoentes de b crescem de 0
até n. Assim o terceiro termo é 10 a3b2
(observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de b
cresceu de 1 para 2).
Usando a
regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)7
será:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b +
21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4
+ 21 a2b5 + 7 ab6 + b7
Como
obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º
termo (21 a2b5) ?
Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente
de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que
é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 =
21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima.
Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no desenvolvimento
de (a + b)n são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
Fórmula
do termo geral de um Binômio de Newton
Um termo genérico
Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n ,
sendo p um número natural, é dado por
onde
é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de
combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou
seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p.
Este número é também conhecido como Número Combinatório.
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