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Produtos Notáveis
Vamos relembrar aqui, identidades especiais, conhecidas
particularmente como Produtos Notáveis.
1 – Quadrado da soma e da diferença
(a + b)2 = a2 +
2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab +
b2
Das duas anteriores, poderemos concluir que também é válido
que:
(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2)
ou escrevendo de uma forma conveniente:
2 – Diferença de quadrados
(a + b).(a – b) = a2 –
b2
3 – Cubo de uma soma e de uma diferença
(a + b)3 =
a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
Para
determinar o cubo da diferença, basta substituir na identidade acima, b por -b,
obtendo:
(a – b)3 = a3 – 3.a2.b +
3.a.b2 – b3
Uma forma mais conveniente de apresentar o cubo de soma, pode ser obtida
fatorando-se a expressão como segue:
(a + b)3 = a3 +
3.a.b(a+b) + b3
Ou:
(a +
b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Esta forma de apresentação, é bastante útil.
Exemplos:
1 – A soma de dois números é igual a 10 e a soma dos seus cubos
é igual a 100. Qual o valor do produto desses números?
SOLUÇÃO:
Temos: a + b = 10 e a3 + b3 =
100. Substituindo diretamente na fórmula anterior, fica:
103 = 100
+ 3ab(10) de onde tiramos 1000 = 100 + 30.ab
Daí, vem: 900 = 30.ab, de onde
concluímos finalmente que ab = 30, que é a resposta solicitada.
Nota: os
números a e b que satisfazem à condição do problema acima, não são números reais
e sim, números complexos. Você pode verificar isto, resolvendo o sistema formado
pelas igualdades a+b = 10 e ab = 30. Verifique como exercício!
Alerto para o
fato de que é muito trabalhoso. Mas, vá lá, faça! É um bom treinamento
sobre as operações com números complexos. Pelo menos, fica caracterizada a
importância de saber a fórmula acima.
Sem ela, a solução DESTE PROBLEMA SIMPLES,
seria bastante penosa!
2 - Calcule o valor de F na expressão abaixo, para:
a = -700, b = - 33 , x
= 23,48 e y = 9,14345.
SOLUÇÃO:
Com a substituição direta dos valores dados, os
cálculos seriam tantos que seria inviável! Vamos desenvolver os produtos
notáveis indicados:
Se você observar CUIDADOSAMENTE a expressão acima, verá que o
numerador e
o denominador da fração são IGUAIS, e, portanto, F = 1, INDEPENDENTE dos valores
de a, b, x e y.
Portanto, a resposta é igual a 1, independente dos valores
atribuídos às variáveis a, b, x e y.
Resp: 1
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