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Equação do segundo grau

 

Equação do segundo grau

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .
Exemplos:

Equação

a

b

c

x²+2x+1

1

2

1

5x-2x²-1

-2

5

-1

Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau incompleta:

x²-9=0  »  x²=9  »  x=-->  »  x=

2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau incompleta:

x²-9x=0 »  Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0  »  x=0,9

Resolução de equações do 2º grau:

A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.

Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:

 4a²x²+4abx+4ac=0
 4a²x²+4abx=-4ac

Somamos b² aos dois membros:
 4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

Fatoramos o lado esquerdo e chamamos de (delta) b²-4ac:

(2ax+b)²=
2ax+b=
2ax=-b
Logo  ou

Fórmula de Bháskara: 



 

Propriedades: 

 

 Duas raízes reais e diferentes

 

 Duas raízes reais e iguais

 

 Nenhuma raiz real


Relações entre coeficientes e raízes

Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:
  e

A soma das raízes será:



Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
O produto das raízes será:

  

  

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:
 

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.
Obtendo:

Substituindo por e :

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:

x² - Sx + P = 0

Exemplo:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

Resolução de equações fracionárias do 2º grau:

Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplo:

a)  Onde , pois senão anularia o denominador
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então:  

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:
8 + X2 = 6X » X2 - 6X + 8 = 0

Aplicando a fórmula de Bháskara:

X2 - 6X + 8 = 0

Logo, x = 2 e x` = 4.  »  S={2,-4}

Resolução de equações literais do 2º grau:

Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.
 

Equação

a

b

c

x² - (m+n)x + p = 0

1

-(m+n)

p


Exemplo: Determine o valor da incógnita x.

1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:

a=1, b=-3a, c=2a²

, Logo:
x = 2a  e  x = a  »  S={a,2a}

 Resolução de equações biquadradas

Equação biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:
 

aX4 - bX2 + c = 0  onde


Exemplo resolvido:
1) X4 - 5X2 + 4 = 0
Fazendo x² = y , temos   X4 = Y2

Substituindo os valores na equação, temos:
y² - 5y + 4 = 0

Aplicando Bháskara:

Logo, y = 4  e y`= 1

Voltando a variável x:

Como y=x², temos:
x²=4  »   e x²=1  »

Então a solução será » S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente +

 

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