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Logaritmo e Função Logaritmica
LOGARITMO
DEFINIÇÃO : Dados dois números
reais positivos y e a , com y > 0 e a ¹
1 , chamamos de logaritmo de y na base a
( log a y ) o
expoente x ao qual devemos elevar a base a para obtermos o número y
.
OBS : 1) Condições de
existência :
a > 0 ; a ¹
1 e
y > 0
2)
a é chamado de base do logaritmo
x é o logaritmo
y é o logaritmando ou
antilogaritmo
EXEMPLOS
:
1)
log 2 128 = x «
2)
3)
Conseqüências da Definição e Propriedades de Logaritmo
Nunca se esqueça das condições de
existência : base > 0 ; base ¹
1 e logaritmando >0
Considere abaixo definidas estas três
condições.
OBS:
Existe uma tabela de logaritmos de base 10, foi construída por Briggs.
Log 2 = 0,30103 ,
log 3 = 0,47712 , etc.....
Porém, se desejamos calcular
deveremos
fazer uma mudança de base,
ou seja , utilizamos uma propriedade para fazer este cálculo, pois a tabela
de
logaritmo está na base 10
FUNÇÃO
LOGARÍTMICA
DEFINIÇÃO : Dado um número real
a, a > 0 e a ¹
1 , chamamos função logarítmica de base a
a função f de
em R
que associa a cada x o número log a x .
Escrevemos então :
f :
®
R / f (x) = log
a x , onde
a > o e a ¹
1
PROPRIEDADES
a)
Dada a função f (x) = log
a x , a > 0 e
a ¹
1 de
®
R , chama-se inversa de f
a função g (x) , de
R ®
, dada por g (x) = a x
.
b)
A função f (x) = log
a x , x
, é crescente "
a / 0 < a < 1 .
CONJUNTO
IMAGEM
Como
a > 0 e a
¹
1 , a função f de
®
R , definida por
f (x) = log a x , admite a função inversa g , de R ®
definida por
g (x) = a x . Temos então que f é bijetora e portanto o seu
conjunto imagem é o conjunto dos números reais, isto é ,R.
GRÁFICOS
O
gráfico da função f (x) = log a x
, a > 0 e a
¹
1 pode ser :
a)
Quando a base a > 1 ( Função
Crescente )
b)
Quando a base 0 < a <
1 (
Função Decrescente )
OBSERVAÇÃO : Logaritmo Neperiano
f
(x) = ln x (
ln logaritmo Neperiano )
Base e ( valor
aproximado de e 2,7182
.... )
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FUNÇÃO
LOGARÍTMICA
Logarítmos
Definição: log b
a = c «
bc = a, com a > 0 e 1 b>0.
Onde a é o logaritmando ou antilogarítmo, b é a base e c
é o logaritmo.
Conseqüências da definição:
o
log a1 = 0
o
log aa = 1
o
log aan = n
o
aloga b = b
o
log ba = log bc «
a= c
Propriedades operatórias:
o
log a(M . N) = log aM + log aN
o
log a(M / N) = log aM – log na
o
log aMN
= N . log aM
o
Cologarítmo: log a1/b = - log ab = colog ab
o
Mudança de base: log ab = log cb / log ca
log
ab . log ca = log cb
log ab = 1 / log ba
Função logarítmica
Toda função f : R ®
R definida por f (x) = log ax, com a E R, 0 < a 1
e x E R, é denominada função exponencial de base a.
Domínio: f (x) = log ax , pela definição temos:
x
> 0 ,
a > 0 e
a
Equação logarítmica
Resolução de uma equação: Observar a condição de existência (CE);
Efetuar a logaritmação – passar para forma exponencial.
Log ab = x ®
b = ax
Estudo do sinal
Quando
a > 1 ®
log a x > 0 «
x > 1
Quando 0 < a < 1 ®
log a x < 0 «
x > 1
log a x = 0
«
x = 1
log a x = 0 «
x = 1
log a x < 0 «
0 < x <1
log a x > 0 «
0 < x < 1
Inequação logarítmica
Para resolvermos uma inequção logarítmica devemos nos preocupar com as
seguintes propriedades:
o
Quando a > 1 ®
x2 > x1 «
log a x2 > log a x1
(conserva o sentido da
desigualdade)
Quando
0 < a < 1 ®
x2 > x1 «
log a x2 < log a x1
(inverte o sentido da desigualdade)
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