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Revisão de Matemática
 
Logaritmo e Função Logaritmica

 

Logaritmo e Função Logaritmica

LOGARITMO
DEFINIÇÃO
:  Dados dois números reais positivos y e a , com y > 0 e a ¹ 1 , chamamos de logaritmo  de y na base a  ( log a y )  o expoente x ao qual devemos elevar a base a para obtermos o número y .

        OBS :  1) Condições de existência  : 
                                 a > 0 ; a ¹ 1  e  y > 0
                  
2) a é chamado de base do logaritmo
                  
     x é o logaritmo
                  
     y é o logaritmando  ou antilogaritmo

EXEMPLOS :

1) log  2 128 = x   «  

2)             

3)

Conseqüências da Definição e Propriedades de Logaritmo

Nunca se esqueça das condições de  existência : base > 0 ; base ¹ 1 e logaritmando >0
Considere abaixo definidas estas três condições.

OBS: Existe uma tabela de logaritmos de base 10, foi construída por Briggs.
             Log 2 = 0,30103 , log 3 = 0,47712 , etc.....
Porém, se desejamos calcular      deveremos  fazer uma mudança de base, ou seja , utilizamos uma propriedade para fazer este cálculo, pois a tabela de logaritmo está na base 10           

                               

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

DEFINIÇÃO :  Dado um número real a, a > 0 e a ¹ 1 , chamamos função logarítmica de base a a função f de    em R que associa a cada x o número log a x  .

Escrevemos então :  f :  ® R /  f (x) = log a x , onde  a > o e a  ¹ 1

PROPRIEDADES

a) Dada a função  f (x) = log  a x , a > 0   e a  ¹ 1  de   ® R , chama-se inversa de f  a função  g (x) , de  R ®   , dada por  g (x) = a x  .

b) A função  f (x) = log  a x  ,  x    , é crescente "  a /  0 < a < 1 .

CONJUNTO IMAGEM

Como a > 0  e a  ¹ 1 , a função f de  ® R , definida por  f (x) = log a x , admite a função inversa g , de R ®    definida por  g (x) = a x . Temos então que f é bijetora e portanto o seu conjunto imagem é o conjunto dos números reais, isto é ,R.  

GRÁFICOS

O gráfico da função f (x) = log a x  , a > 0  e a  ¹ 1 pode ser :

a)  Quando a base  a > 1    (  Função Crescente )

 

b) Quando a base  0 < a < 1     (  Função Decrescente )

 

OBSERVAÇÃO :        Logaritmo Neperiano

f (x) = ln x      (  ln   logaritmo Neperiano )
Base e   ( valor aproximado de e   2,7182 ....   )

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

         Logarítmos

         Definição:  log b a = c « bc = a, com a > 0 e 1  b>0. Onde a é o logaritmando ou antilogarítmo, b é a base e c é o logaritmo.

Conseqüências da definição:

o        log a1 = 0

o        log aa = 1

o        log aan = n

o        aloga b = b

o        log ba = log bc « a= c

Propriedades operatórias:

o        log a(M . N) = log aM + log aN

o        log a(M / N) = log aM – log na

o        log aMN = N . log aM

o        Cologarítmo: log a1/b = - log ab = colog ab

o        Mudança de base: log ab = log cb / log ca

                                     log ab . log ca = log cb

                                            log ab = 1 / log ba

         Função logarítmica

         Toda função f : R ® R definida por f (x) = log ax, com a E R, 0 < a 1 e x E R, é denominada função exponencial de base a.

   Domínio: f (x) = log ax , pela definição temos:

                           x > 0  ,   a > 0   e   a

         Equação logarítmica

Resolução de uma equação: Observar a condição de existência (CE); Efetuar a logaritmação – passar para forma exponencial.

                        Log ab = x ® b = ax 

         Estudo do sinal

Quando a > 1 ®  log a x > 0  «  x > 1         Quando 0 < a < 1 ® log a x < 0  «  x > 1

                             log a x = 0  «  x = 1                      log a x = 0  «  x = 1

                             log a x < 0  «  0 < x <1                 log a x > 0 « 0 < x < 1

         Inequação logarítmica

         Para resolvermos uma inequção logarítmica devemos nos preocupar com as seguintes propriedades:

o        Quando a > 1 ® x2 > x1  «  log a x2 > log a x1   (conserva o sentido da desigualdade)
 Quando 0 < a < 1  ®  x2 > x1  «  log a x2 < log a x1 (inverte o sentido da desigualdade)

 

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