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Teoria de Conjuntos

 

Teoria de Conjuntos

1 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.
Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.

1.1 - Relação de pertinência:
Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A , onde o símbolo Î significa "pertence a".
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y Ï A.
O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por f. Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.
Assim é que, pode-se escrever como exemplos: Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}.

1.2 - Subconjunto:
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B.
Notas:
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A)
c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A).
Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

2 - Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:
Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,4,5,6,... }
Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
Obs: é evidente que N Ì Z.

Conjunto dos números racionais
Q = {x; x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }.
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero!.
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.

Notas:
a) é evidente que N Ì Z Ì Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,4444... = 4/9

Conjunto dos números irracionais
I = {x; x é uma dízima não periódica}.
Exemplos de números irracionais: p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro)
2,01001000100001... (dízima não periódica)
Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata).

Conjunto dos números reais
R = { x; x é racional ou x é irracional}.

Notas:
a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì R
b) I Ì R
c) I È Q = R
d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!

3 - Intervalos numéricos
Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.
A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.

TIPOS

REPRESENTAÇÃO

OBSERVAÇÃO

INTERVALO FECHADO

[p;q] = {x Î R; p £ x £ q}

inclui os limites p e q

INTERVALO ABERTO

(p;q) = { x Î R; p < x < q}

exclui os limites p e q

INTERVALO FECHADO A ESQUERDA

[p;q) = { x Î R; p £ x < q}

inclui p e exclui q

INTERVALO FECHADO À DIREITA

(p;q] = {x Î R; p < x £ q}

exclui p e inclui q

INTERVALO SEMI-FECHADO

[p;¥ ) = {x Î R; x ³ p}

valores maiores ou iguais a p.

INTERVALO SEMI-FECHADO

(- ¥ ; q] = { x Î R; x £ q}

valores menores ou iguais a q.

INTERVALO SEMI-ABERTO

(-¥ ; q) = { x Î R; x < q}

valores menores do que q.

INTERVALO SEMI-ABERTO

(p; ¥ ) = { x > p }

valores maiores do que p.

Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -¥ ; + ¥ ).

4 - Operações com conjuntos

4.1 - União ( È )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}.
Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.

Propriedades imediatas:
a) A È A = A
b) A È f = A
c) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A È U = U , onde U é o conjunto universo.

4.2 - Interseção ( Ç )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}. Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

Propriedades imediatas:
a) A Ç A = A
b) A Ç Æ = Æ
c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo.

São importantes também as seguintes propriedades :
P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva)
P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva)
P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção)
P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção)
Obs: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.

4.3 - Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{ 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.

Propriedades imediatas:
a) A - f = A
b) f - A = f
c) A - A = Æ
d) A - B ¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

4.3.1 - Complementar de um conjunto
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A .
Simbologia: CAB = A - B.
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B' = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que:
a) B Ç B' = f
b) B È B' = U
c) f' = U
d) U' = f

5 - Partição de um conjunto

Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.

Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
X = { {2}, {3,5} }
Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é Ø .
b) {2} Ç {3, 5} = Ø
c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A
Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.
Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.

Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} Ç {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N .

6 - Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)

Conjuntos numéricos
Números Naturais:
{1,2,3,4,5,......,11,12,.....}
Números Inteiros: {....,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Seqüências: {0,1,2,....,10,11,12,13,...}
Números Racionais: {p/q | p e q são números inteiros , q = 0}; os conjuntos de números naturais , números inteiros e seqüenciais , assim como os números que podem ser grafados em frações, são subconjuntos dos números racionais.
Números Irracionais: {x| , x é um número real, mas não um número racional }; os conjuntos de números racionais e irracionais não tem elementos em comum e por isso são conjuntos desarticulados.
Números Reais: {x|x é a coordenada de um ponto em uma linha numérica}; a união do conjunto de números racionais com um conjunto de números irracionais equivale ao conjunto de números reais.
Números Imaginários: {ai| a é um número real e i é o número cuja segunda potência é -1}; i² = -1; os conjuntos de números reais e imaginários não tem elementos comuns e são conjuntos desarticulados.
Números Complexos: {a + bi| a e b são números reais e i é o número cuja segunda potência é -1}; o conjunto de números reais e o de imaginários são subconjuntos dos números complexos.

 

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